Uma Introdução Superficial a Buracos Negros

Recentemente tive que fazer um seminário sobre um assunto que não manjava nada; buracos negros. Foi um desafio legal que levou cerca de 2 meses para aprender um pouco sobre esse assunto, e posso afirmar com absoluta certeza que o que sei é ainda de forma absolutamente superficial. Desse pouco que aprendi resolvi fazer um resumo e tentar explicar para vocês de maneira um pouco mais correta esse tema que é tão intrigante.

Lembre-se sempre de clicar nos arquivos linkados, tem textos de apoio explicando alguns termos e artigos bem aprofundados, esses último apenas para que você tome ciência que existe um árduo trabalho técnico/matemático por trás. Ah, tem também uns textos da wikipédia, mas nesses aí você pode confiar.

"strange is the night where black stars rise[...]"¹

Antes de podermos falar sobre Buracos Negros, precisamos entender o que é o espaço-tempo. E você pode imaginá-lo como o conjunto de eventos de todos os objetos, ou seja, como se fosse um filme no qual todo evento que ocorreu, está ocorrendo ou irá ocorrer é apenas um elemento desse filme. Isso faz com que o espaço-tempo seja o pano de fundo e um dos entusiastas para o assunto em questão. Porém é primariamente necessário criar um arcabouço lógico e matemático para que possamos descrever o espaço-tempo, para então compreendermos como ele atua na existência de Buracos Negros. Aqui no blog eu não irei abordar com muito detalhe, mas você pode achar no ensaio que escrevi (aqui).

O nosso dia a dia se vamos medir distâncias usamos uma régua. Se temos um triângulo retângulo podemos medir os catetos usando a mesma régua então aplicamos o teorema de Pitágoras e, assim, descobrimos qual o tamanho do lado maior desse triângulo, sabemos também que a soma dos seus ângulos internos é sempre 180º graus. Isso tudo só é possível porque vivemos em um espaço plano, mesmo quando resolvemos afirmar que o tempo é uma dimensão e passamos a viver em um espaço de quatro dimensões, ele continua sendo plano. Mas aqui estamos querendo falar de gravitação e pela Relatividade Geral ela está associada a curvaturas no espaço-tempo, ou seja, um objeto curvaria o espaço-tempo e dessa curvatura surge o que chamamos de gravidade, logo espaços-tempo planos não satisfazem essa descrição e precisamos introduzir uma curvatura. As formalidades matemáticas podem ser encontradas no ensaio que linkei acima, mas para esse momento vamos aceitar que simplesmente damos um jeitinho de flexibilizar o espaço-tempo de Minkowski para que ele passe a aceitar essas curvaturas.

Agora temos um espaço-tempo que pode ser curvado, mas o que curva o espaço tempo? Prontamente você pensou "Massa", certo? Essa resposta não está errada, mas ela não é muito abrangente, o correto é dizer que curvatura é causada pela ENERGIA. Assim se eu tenho um planeta bem gordinho ou um fóton, partícula sem massa, bem energético ambos deformam o espaço-tempo proporcionalmente a sua energia. Esse é um dos motivos pelo qual a luz pode "cair" em um buraco negro, pois embora não tenha massa, ela interage gravitacionalmente.

Aqui cabe uma pergunta: é a deformação do espaço tempo que chamamos de força? 

Sim... e não!  "Sim" porque em casos gerais a visão Newtoniana de força continua funcionando muito bem e no final do texto iremos usá-la. "Não" do ponto de vista da relatividade, pois a "deformação no espaço-tempo" faz exatamente o que o nome diz; deforma tanto o espaço quanto o tempo. Então a maneira como medimos distâncias e contamos o tempo é diferente por causa dessa curvatura. Tá vago? ok, vamos dar exemplo: O tempo na superfície da Terra (região de maior curvatura) passa mais devagar do que para um satélite de GPS em órbita (região de menor curvatura), e isso é tão evidente que precisamos fazer correções relativísticas nesses aparelhos para que funcionem corretamente.

Mas isso é suficiente para explicar a atração gravitacional sem a existência de forças?

Não, o que acontece é que existe o princípio de mínima ação², que nos diz que nesse caso as partículas sempre vão seguir caminhos no qual o tempo é maior, e esse caminho é justamente o da deformação do espaço-tempo, uma vez que nele o espaço é maior e o tempo é mais devagar. Então se eu sou uma partícula de boa lá vagando no universo e encontro uma deformação, logo eu "penso": "opa, vou pegar esse caminho aqui que o tempo é mais de vagar". Entendido?! Então não há forças, apenas uma tendencia natural dos objetos seguirem um caminho onde o tempo é mais lento e esse caminho é justamente o que leva de encontro ao corpo que produz a deformação do espaço tempo.

Você deve ter achado uma viagem total, mas não vai achando que físico pensa nessas coisas fumando um beck, tomando café e olhando pro quadro negro. Pois existe uma tonelada de experimentos e de matemática evidenciando isso tudo. Apenas para dar um gostinho da coisa, a equação que descreve a curvatura do espaço-tempo frente a uma quantidade de energia é a seguinte:

$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R = (8 \pi G/c^{4})T_{\mu \nu} .  (1)$

Mas o que você precisa saber é que o termo $T_{\mu \nu}$ representa a energia do sistema, enquanto $R$ é a curvatura do espaço tempo. Essa é a equação de Einstein e é ela que mostra que uma quantidade de energia pode curvar o espaço tempo.

Agora que sabemos que estamos fazendo nossa física em um espaço-tempo curvo, e o que causa essa curvatura (a energia), podemos falar de buracos negros que surgem da matemática da relatividade geral, mas só no final falaremos sobre como de fato eles poderiam se formar.

Em 1905, um cara muito legal chamado Schwarzenegger Schwarzschild, resolveu descrever um objeto esférico, de massa M e sem rotação a partir das soluções da equação de Einstein, para isso ele impôs uma simetria esférica sobre essas soluções e obteve o seguinte

$ds^{2}= \left(1-\frac{2GM}{rc^{2}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-\frac{2GM}{rc^{2}}\right)^{-1}dr^{2}.  (2)$ 

Essa solução nos permite entender o que acontece com o espaço e o tempo deformados por esse objeto esférico. Mas para que possamos visualizar melhor vamos dividi-la em duas partes, uma temporal (aquele termo que multiplica $dt$) e a outra espacial (aquele termo que multiplica $dr$) e vamos analisar. Começando pela parte temporal, que obviamente descreve como o tempo se comporta nessa situação, temos

$\left(1-\frac{2GM}{rc^{2}}\right)c^{2}dt^{2}. (3)$

Na qual $G$ a constante gravitacional, $c$ a velocidade da luz, $M$ a massa do objeto e $r$ o seu raio. Agora vamos fazer considerações sobre o raio de objeto e ver o que acontece com a equação (3). Se o objeto tiver $r=0$, ou seja, for um ponto, teremos uma divisão por zero e você sabe bem que isso não pode acontecer. Então vamos dizer que temos uma singularidade em $r=0$, e por singularidade entenda como "valor de $r$ que deu merda na equação", apenas isso. Portanto a gente não pode ter um objeto de massa $M$ com raio igual a zero, nem faria muito sentido também...

Agora vamos ver a parte espacial (aquela que descreve o comportamento do espaço)

$\left(1-\frac{2GM}{rc^{2}}\right)^{-1}dr^{2}.$

Eu não gosto daquele $-1$ ali em cima, tem como arrumar isso?

Claro, tem sim, fica assim então;

$\frac{1}{\left(1-\frac{2GM}{rc^{2}}\right)}dr^{2}.(4)$

Se você notar bem, vai ver que temos outra uma singularidade nesse termo, dessa vez para $r=\frac{2GM}{c^{2}}$ e a ela damos o nome de raio de Schwarzschild. Então se um objeto de massa $M$ tiver esse raio, irá surgir um divergência na solução (4). Mas agora, diferente do caso $r=0$, esse raio parece possível de ser obtido. Como gostamos de ver o circo pegar fogo, podemos pegar qualquer planeta ou estrela e descobrir qual raio ela deveria ter para estragar nossa solução.

Por exemplo, se eu pegar um planeta qualquer e, de alguma forma, comprimir seu raio até o tamanho do raio Schwarzschild (SEM PERDER MASSA), sobraria um objeto estranho, bem pequeno e denso, justamente onde estão aquelas singularidades. A esses objetos damos o nome de buraco negro e o raio de Schwarzschild é o famigerado horizonte de eventos.
   

Agora que tivemos essa ideia maluca e impossível de comprimir um planeta até ele se tornar um buraco negro, precisamos falar de dois fenômenos bem legais que surgem na física.

O primeiro é uma bizarrice temporal. Vamos considerar que temos um buraco negro de massa $M$. Se jogarmos um relógio dentro dele notaremos, pela equação (3), que a medida que que o relógio se aproxima do horizonte de eventos, $r_{Scwh}=\frac{2GM}{c^{2}}$, o tempo vai parando para ele, até que finalmente para quando o relógio atinge o $r_{Scwh}$. Isso é assustador, pois eu simplesmente veria aquele relógio "parar" ao chegar no horizonte de eventos, indicando que o tempo para dentro do buraco negro... uow. (veja um aplicativo legal sobre isso)

Já a parte espacial nos diz que o redshift para uma radiação tentando escapar do buraco negro é infinito, a grosso modo isso quer dizer que para alguma radiação - leia: luz - escapar daquela região ela precisaria de energia infinita. Tal fato não é óbvio de se ver apenas olhando para a equação (3), portanto uma demonstração mais legalzinha pode ser vista aqui.

Pare para pensar um pouco (!). Nessas linhas acima fizemos um objeto astrofísico muito estranho, no qual o tempo parece parar e a radiação parece não conseguir escapar. Se você não ficou abismado com isso, talvez eu tenha falhado nesse texto.

Esse buraco negro que trabalhamos até aqui é o mais simples que existe e é chamado de buraco negro de Schwarzschild. Ele é simples porque é apenas um corpo esférico sem rotação e sem carga, mas existem soluções excitantes que trabalham com buracos negros com rotação e carregados, esses não tratarei agora, pois o texto está ficando enorme e a gente ainda nem falou como os buracos negros podem surgir na natureza.

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Antes de continuar, é legal que você note algumas coisas:

1 - Não falamos de gravidade absurdamente alta em nenhum lugar e vamos continuar assim.

 2 - Se o sol, por algum motivo bem desconhecido, se tornasse um buraco negro o que aconteceria com a Terra? A reposta óbvia é que seria sugada por ele e não sobraria nada da gente. Mas essa resposta está completamente errada, pois veja bem, aqueles fenômenos estranhos que citamos acima, acontecem apenas na região do horizonte de eventos³ e não distante dele, fora dessa região o buraco negro se comporta como um corpo de massa qualquer. Logo, o Sol apagaria e a gente ficaria no escuro, mas gravitacionalmente continuaríamos girando ao redor dele como fazemos atualmente.
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A ideia absurda de um objeto astrofísico com essas características tão estranhas não era levada muito a sério até que trabalhos do Chandra levaram a possibilidade de uma estrela com massa de 3 a 5 vezes maior que a do sol colapsar e formar um corpo extremamente denso. Mas para podermos entender como isso ocorre precisaremos de um pouco de mecânica quântica. 

Uma estrela passa sua vida em um duelo gravitacional, pois sua superfície é atraída para seu centro devido a força da gravidade, enquanto que a pressão gerada em seu interior devido à reações nucleares tende a empurrar a superfície da estrela no sentido oposto ao da atração gravitacional. Então a vida da estrela fica nesse empurra e puxa entre a atração gravitacional e a pressão interna, se essa última for muito maior que a força da gravidade ela explodiria (ou iria inchar consideravelmente), e se a força gravitacional fosse maior que a pressão interna a estrela iria implodir... portanto é o equilíbrio entre a pressão interna e a força da gravidade que a mantém estável. 

Mais detalhadamente, uma estrela emite intensa radiação através de uma sucessão de reações nucleares. Primeiramente a estrela é constituída de hidrogênio, que através de uma série de reações termonucleares converte esse hidrogênio em hélio. Quando todo o hidrogênio é consumido, a estrela cessa suas reações nucleares, então a gravidade toma espaço e comprime o hélio até que haja novamente reação nuclear. Assim a estrela começa a produzir elementos químicos cada vez mais pesados até chegar no ferro, silício e demais. Nesse momento a estrela novamente cessa suas reações nucleares e fica a merce da força gravitacional, havendo apenas um efeito que impede o colapso total, que é a pressão de degeneração do elétron³ atuando em sentido contrário a da gravidade. Ou seja, nesse ponto que chegamos existe um pressão de origem quântica que está segurando o colapso total dessa estrela. Mas como a gente quer ver sangue e destruição, vamos considerar uma estrela massiva o suficiente para superar essa pressão de degeneração do elétron, com isso os neutrinos escapam da matéria e a estrela se transforma em uma estrela de nêutrons. Por sua vez, a estrela de nêutrons remanescente possui estabilidade assegurada pela pressão de degeneração do nêutron. Se a massa da estrela for grande suficiente para superar a pressão de degeneração do nêutron a estrela colapsa e

se torna uma superfície compacta chamada de horizonte de eventos, e aí dentro está nosso buraco negro.

Pronto, nessa caminhada vimos como buracos negros surgem na teoria da Relatividade e acabamos de ver como eles podem surgir do colapso de uma estrela massiva. Mas falta ainda algo interessante que é o coração do buraco negro que está dentro desse horizonte de eventos.

Como falamos anteriormente, nosso buraco negro na região interior ao horizonte de eventos é uma singularidade e singularidades são superfícies aprisionadoras fechadas, ou seja é um conjunto de pontos definidos como uma superfície fechada sobre a qual os raios de luz que apontam para fora, na verdade, estão convergindo,  ou seja movendo-se em direção ao interior da superfície.  

"QUE? explica isso melhor."

Imagine que somos dois feixes de luz, e estamos tentando escapar de dentro de um buraco negro correndo em direção a borda dele... mas quando percebemos na verdade estamos indo em direção ao centro do buraco negro e não para fora, assim estamos eternamente presos lá dentro e tudo que fizermos ficará eternamente lá, pois essa região é desconectada do resto do espaço-tempo... triste isso não?

Em resumo a singularidade é uma região que o tempo não existe, que está desconectada do espaço tempo e que tudo que acontece lá fica lá, igualzinho um cassino de Las Vegas.

Cansei de escrever e vocês devem estar cansados de ler. Espero muito mesmo que tenhamos aprendido um pouquinho sobre buracos negros sem toda aquela frescura que você encontra na maioria dos textos da internet. Claro que aqui não falamos de vários assuntos interessante, nem de algumas curiosidades que valem muito a pena saber, mas fica para um outro texto que não vou prometer, se vocês curtirem esse eu penso num próximo.

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Referências:

[1] G. E. Romero, \textquotedblleft{}Introduction to black holes\textquotedblright{}.arXiv:0805.2082v1 [astro-ph] 14May 2008.

[2] R. M. Wald, \textquotedblleft{}General Relativity\textquotedblright{}. USA: The University of Chicago Press, 1984.

[3] F. A. Villaverde, "A Matriz S em Teoria Quântica de Campos em Espaços Curvos'', (Dissertação de Mestrado), Instituto de Física - Departamento de Física Matemática (USP),  São Paulo - SP, 2012.
 
[4] G. F. R. Ellis, R. M. Williams \textquotedblleft{}Flat and Curved Space-Times\textquotedblright{}.New York: Oxford University Press, 2000, segunda edição.

[5] S.W. Hawking e G.F.R. Ellis, \textquotedblleft{}The large scale structure of space-time\textquotedblright{}. USA: Sindicate of the University of Cambridge, 1994.

[6] S.M Carroll,  \textquotedblleft{}Lectures Notes on General Relativity\textquotedblright{}. arXiv:gr-qc/9712019v1 3 Dec 1997

[7] A. Einstein, \textquotedblleft{}The Foundation of the General Theory of Relativity\textquotedblright{}. Annalen der Physik 354 (7): 769. doi:10.1002/andp.19163540702.

[8] S. Chandrasekhar, \textquotedblleft{}The Mathematical Theory of Black Holes\textquotedblright{}. International Series of Monographs on Physics. New York: Oxford University Press, 1983.

[9] M. Vojinovic, \textquotedblleft{}Lecture Series on General Relativity\textquotedblright{}. Universidade de Lisboa, 2010.

[10] M. Visser, \textquotedblleft{}The Kerr spacetime: A brief introduction \textquotedblright{}. Victoria University of Wellington. arXiv:0706.0622v3 [gr-qc] 15 Jan 2008.

[11] R. P. Kerr and W. B. Wilson, \textquotedblleft{}General Relativity and Gravitation\textquotedblright{} 10 (1979), 273.

[12] P.K. Townsend, \textquotedblleft{}Black Holes\textquotedblright{}. arXiv: gr-qc/9707012v1 4 jul. 1997.
 
[13] S. L. Shapiro, e S. A. Teukolsky,  \textquotedblleft{}Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars: The Physics of Compact Objects\textquotedblright{}. New York: Wiley, 1983.

[14] S. Gasiorowicsz \textquotedblleft{}Quantum Physics\textquotedblright{}.United State of America:Wiley International Edition, 2003, terceira edição.

[15] Y. Choquet-Bruhat, \textquotedblleft{}General Relativity and Einstein's Equations\textquotedblright{}. New York: Oxford University Press, 2009.

[16] M. Ludvigsen, \textquotedblleft{}General Relativity, A geometric Approach\textquotedblright{}. United State of America: Cambridge University Press, 1999.

1 - trecho retirado de "Cassilda's Song" in The King in Yellow Act 1, Scene 2 - R. Chambers 1895.

2 - Na verdade o mais correto é "Extremizar a ação", que é algo BEM matemático e não cabe nesse texto, nem vou passar referência porque seria em um livro nada amigável.

3 - Para ser mais exato, a região que começamos a sentir os efeitos malucos do buraco negro é na verdade delimitada pelo raio de Roche, mas desconsiderando os chamados efeitos de maré, tudo que estamos tratando está correto. Veja mais aqui.

4 - A pressão de degeneração (ou de degenerescência) é um fenômeno quântico que não possui análogo clássico, portanto você pode entendê-la como a pressão que  tem origem no princípio de exclusão de Pauli, o qual não permite que dois elétrons (férimons) ocupem simultaneamente o mesmo estado quântico, dando origem a uma pressão contrária a compressão gravitacional da estrela. Infelizmente minha competência falha em uma explicação mais simples, mas você pode se contentar em entendê-la como "uma pressão de origem quântica", e a minha intenção ao citá-la é exatamente essa, te mostrar que a mecânica quântica é altamente necessária para astrofísica. 

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